Меню

Как проверить корректность рассуждений средствами логики высказываний

Алгоритм анализа рассуждений в логике высказываний

Для логического анализа рассуждений (умозаключений) полезно пользоваться алгоритмом анализа, разработанного современной математической логикой, т.е. соответствующей теорией и техникой.

Алгоритм (техника, процедура точного однозначного решения) формально-логического анализа рассуждения включает в себя последовательное осуществление следующих действий (шагов):

1) найти и построить символическую форму рассуждения;

2) определить при помощи теории и техники логики высказываний, следует ли заключение рассуждения из посылки (посылок) рассуждения (см. приложения 1 и 2);

3) доказать заключение, т.е. построить вывод заключения из посылок при помощи правил вывода логики высказываний (см. приложение 3).

1. Определение и построение символической формы рассуждение предполагает:

1) выделение в рассуждении простых, законченных, повествовательных (утвердительных или отрицательных) или сводимых к ним предложений;

2) замещение (обозначение) выделенных простых предложений переменными (А, В, С, …);

3) представление как посылок, так и заключения (вывода) в виде связей между соответствующими предложениями, т.е. конъюнкций, дизъюнкций, импликаций, отрицаний и т.д. этих простых предложений.

Результатом перевода рассуждения в символическую форму будет являться утверждение о логическом следовании заключения некоторого вида из посылок некоторого вида.

В данном примере:

╞ — знак логического следования;

(А → В) – посылка («Неверно, что если подсудимый виновен, то у него был сообщник»);

В) – заключение («Подсудимый виновен, а сообщника у него не было»).

Найденная и построенная символическая форма рассуждения позволяет анализировать при помощи техники логики высказываний отношение логического следования между посылками и заключением.

2. Согласно постулатам связи отношений логического следования и общезначимых формул имликативного вида (см. приложение 2) записываем полученную символическую форму рассуждения в виде импликативной формулы, в которой посылка занимает место аптецедента импликации, а заключение – консеквента импликации.

a) Если символическая форма рассуждения имела вид

то полученная по 1-му постулату импликативная формула будет иметь вид

b) Если же символическая форма рассуждения имела вид

то полученная по 2-му постулату импликативная формула будет иметь вид

Теперь, применяя технику табличного установления общезначимости или технику «сведения к абсурду», определяем, является ли полученная формула общезначимой (тавтологией). Из посылок некоторого вида будет логически следовать заключение, если, и только если, соответствующая символической форме рассуждения формула является общезначимой.

3. Если формула общезначима, а следовательно, заключение рассуждения логически следует из посылок, строим вывод заключения, т.е. показываем, каким именно способом, по каким правилам вывода может быть осуществлен переход от посылок к заключению.

Проведем в качестве примера анализ следующих рассуждений:

a) «Не скажи он ей, она не узнала бы. А не спроси она его, он ни за что не сказал бы ей. Но она узнала. Значит, она его спросила».

b) «Если бы он не получил лицензию, то либеральная доктрина потеряла бы красноречивого сторонника. А не будь Катя молчаливой, он ни за что не получил бы лицензию. Он, однако, продолжает защищать либеральную доктрину. Значит, Катя молчалива».

1. Выделим в рассуждениях простые, повествовательные (или сводимые к ним) предложения и заменим их на переменные.

a) «Он не сказал ей» —

«Она спросила» — С

«Она его не спросила» —

b) «Он не получил лицензию» —

«Либеральная доктрина теряет (не имеет) сторонника» —

«Катя не молчалива» —

«Либеральная доктрина имеет сторонника» — В

«Катя молчалива» — С

Легко заметить, что состав простых предложений в обоих рассуждениях одинаков.

Теперь посмотрим, каким способом в рассуждениях связаны простые предложения, и в соответствии с формой их связи найдем символическую форму рассуждений:

Читайте также:  Как быстро забеременеть в 40 лет народные средства

В – первая посылка;

А – вторая посылка;

В – третья посылка;

Таким образом, символическая форма обоих рассуждений имеет вид:

Здесь в скобках зафиксированы 3 посылки, из которых, как это утверждается в рассуждениях, следует заключение С, а ╞ — знак логического следования.

2. Согласно 2-му постулату (см. приложение 2) записываем полученное утверждение о логическом следовании в виде импликации, в которой антецедент – конъюнкция трех посылок, а консеквент – заключение.

Теперь относительно полученной формулы, применяя технику косвенного доказательства общезначимости (метод «сведения к абсурду»), определяем, является ли формула общезначимой.

Для этого мы допускаем, что формула не является общезначимой, а значит, что по крайней мере в одном случае значение истинности основной импликации – «ложно» ( = О )

((

О О

1 основное допущение косвенного

доказательства общезначимости формулы

Но тогда, согласно таблице истинности импликации, С = О, а

поскольку импликация ложна только в одном случае (см. приложение 1).

Переносим значение истинности С ( С = О ) в антецедент основной импликации. Но если С = О, то

((

Если антецедент основной формулы имеет значение «истинно», а он является конъюнкцией трех подформул, то конъюнкция должна быть истинной

((

1 1 О 1 О О

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все составляющие конъюнкцию имеют значение истинности «истинно», а значит:

((

1 1 1 О 1 1 1 О О

1

В = 0, а значит, если (

(см. таблицу для импликации, приложение 1).

Распределение значений истинности будет иметь вид

((

О 1 1 О 1 1 1О 1 О1 1 1 О О

А = 0, то формула (

А = 0. Однако эта же формула (

А) = 1 согласно основному допущению.

0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0

Таким образом, допущение: «Формула не является общезначимой» приводит нас к противоречию. Действительно, одна и та же формула (

А) для того, чтобы реализовать допущение, должна быть одновременно и истинной, и ложной. Противоречивое допущение должно быть отброшено, а значит, основная формула является общезначимой. Но тогда рассуждения, имеющие символическую форму

являются логически правильными – в них заключение логически следует из посылок.

3. Построение вывода заключения из посылок.

Выводом заключения из посылок будем называть конечную последовательность высказываний (формул), каждое из которых либо посылки (гипотеза), либо логически следует из посылок по одному из правил вывода.

В нашем примере:

1.

3. В — посылка (3)

В (высказывание следует из (1) и (2) по правилу

5. С (высказывание следует из (4) и (3) по правилу

Вариантом вывода может быть:

4¢. А (высказывание следует из (1) и (3) по правилу

5¢. С (высказывание следует из (2) и (4¢) по правилу modus

Источник



Как проверить корректность рассуждений средствами логики высказываний

Задача №1.

Проверьте корректность следующих рассуждений средствами логики высказываний .

Если я поеду автобусом, а автобус опоздает, то я пропущу назна ченное свидание. Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчаться, то мне не следует ехать домой. Если я не получу эту рабо ту, то начну огорчаться и мне следует поехать домой. Следовательно, если я поеду автобусом, и автобус опоздает, то я получу эту работу.

Решение:

p — «Я поеду автобусом»

q — «Автобус опоздает»

r — «Я пропущу назначенное свидание»

s — «Я начну огорчаться»

p 1 — «Я еду домой»

q 1 — «Я получу эту работу»

Тогда табличное построение этого рассуждения таково:

Читайте также:  Пример синтетических моющих средств

( ( ( p  q ) → r )  ( ( r  s ) →  p 1 ) )  (  q 1 → ( s  p 1 ) ) ) → (( p  q ) → q 1 )

Рассуждение является правильным (корректным), если, построив таблицу истинности данной формулы мы убедимся, что при всех истинностных значениях входящих в нее высказываний, она принимает значение «истина».

Но поскольку в формулу входят шесть переменных, то таблица истинности данной формулы составит 2 6 = 64 строки.

Применим сокращенный метод проверки, рассуждая от противного, т.е. будем искать вариант, при котором эта формула примет значение «ложь» ( f )

Для этого ее антецедент

Задача №1.
Проверьте корректность следующих рассуждений средствами логики высказываний.
Задача №2.
Получите заключение путем обращения.
Задача № 3.
Получите заключение путем превращения.
Задача №4
Получите заключение путем противопоставления предикату.
Задача 5
Проанализируйте простой категорический силлогизм.
Задача 6
Проанализируйте энтимему.
Задача 7.
Можно ли получить данные обобщения с помощью простой индукции?
Задача 8
Дайте полную логическую характеристику понятий.
Задача 9
Определите вид отношений между понятиями и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера.
Задача 10
Установите вид и правильность следующих определений (в неправильных определениях укажите, какое правило нарушено).
Задача 11.
Проверьте правильность деления понятий (в неправильном делении укажите, какие правила нарушены).
Задача 12
Аргументация.

Источник

Проверка правильности рассуждений

Рассуждение есть утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок). Рассуждение считается правильным только в том случае, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. между конъюнкцией посылок и заключением установлено отношение следствия. Если P1, P2, . , Pn — посылки, а Q — заключение, то рассуждение правильно, если между высказыванием P1 Ù P2 Ù . Ù Pn и Q установлено отношение следствия. В этом случае импликация P1 Ù P2 Ù . Ù Pn®Q должна быть тождественно истинным высказыванием (тавтологией).

Правильность рассуждения можно установить, построив истинностную таблицу высказывания S= P1ÙP2Ù. ÙPn®Q и убедившись в том, что оно тождественно истинно.

При большом числе посылок установить тот факт, что является тавтологией, удобнее с помощью преобразований высказывания к равносильной ему формуле, являющейся тавтологией.

Метод “от противного” заключается в предположении, что заключение ложно, и установление того факта, что при этом конъюнкция P1 Ù P2 Ù . Ù Pn — ложна (что имеет место в том случае, если хотя бы одна из посылок Pi ( ) принимает значение “ложно”). Если это выполняется, то рассуждение верно, в противном случае — нет. Таким образом, в случае правильного рассуждения мы убеждаемся в том, что импликация S= P1 Ù P2 Ù . Ù Pn®Qº1, т. к. отсутствует логическая возможность, соответствующая P= P1 Ù P2 Ù . Ù Pn=1, Q=0, где импликация P®Q принимает значение ложно.

Упражнение 2

“Если функция непрерывна на данном интервале и имеет разные знаки на его концах, то внутри интервала функция обращается в нуль. Функция не обращается в нуль внутри данного интервала. но на концах интервала имеет разные знаки. Следовательно, функция разрывна”.

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят их следующих элементарных высказываний:

A — “функция непрерывна на данном интервале”,

B — “функция имеет разные знаки на концах интервала”

C — “функция обращается в нуль внутри данного интервала”.

Используя эти обозначения, запишем посылки и заключение в виде формул:

ÙB (2-я посылка P2)

(заключение Q)

Если импликация (AÙB®C)Ù( ÙB)® =P®Q тождественно истинна, то рассуждение верно. Для проверки правильности рассуждения строим истинностную таблицу:

А В С АВ АВ®С B P1ÙP2 P1ÙP2®Q

Убеждаемся, что рассуждение верно. Проведем проверку правильности этого рассуждения методом от противного. Предположим, что заключение Q ложно. Покажем, что в этом случае конъюнкция посылок P1ÙP2 ложна, т. е. P →Q тождественно истинна.

Читайте также:  Средство для чистки туалета сифон

В самом деле, если Q= ложно, то A истинно. Пусть P2= B истина, тогда B — истинно, — истинно т. е. C — ложно, но в этом случае посылка принимает значение ложно, так как P1=АВ®С принимает значение ложно, так как AB=1, а С=0, что и требовалось проверить.

Правильность данного рассуждения можно проверить, преобразовав формулу P1ÙP2 к некоторой равносильной ей формуле, которая задает заведомо тождественно истинное высказывание.

Дата добавления: 2016-01-26 ; просмотров: 841 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Проверка правильности рассуждений

Рассуждение есть утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок). Рассуждение считается правильным только в том случае, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. между конъюнкцией посылок и заключением установлено отношение следствия. Если P1, P2, . , Pn – посылки, а Q – заключение, то рассуждение правильно, если между высказыванием P1 Ù P2 Ù . Ù Pn и Q установлено отношение следствия. В этом случае импликация P1 Ù P2 Ù . Ù Pn®Q должна быть тождественно истинным высказыванием (тавтологией).

Правильность рассуждения можно установить, построив истинностную таблицу высказывания S= P1ÙP2Ù. ÙPn®Q и убедившись в том, что оно тождественно истинно.

При большом числе посылок установить тот факт, что является тавтологией, удобнее с помощью преобразований высказывания к равносильной ему формуле, являющейся тавтологией.

Метод «от противного» заключается в предположении, что заключение ложно, и установление того факта, что при этом конъюнкция P1 Ù P2 Ù . Ù Pn – ложна (что имеет место в том случае, если хотя бы одна из посылок Pi ( ) принимает значение «ложно»). Если это выполняется, то рассуждение верно, в противном случае – нет. Таким образом, в случае правильного рассуждения мы убеждаемся в том, что импликация S= P1 Ù P2 Ù . Ù Pn®Qº1, т. к. отсутствует логическая возможность, соответствующая P= P1 Ù P2 Ù . Ù Pn=1, Q=0, где импликация P®Q принимает значение ложно.

Упражнение 2.2.2

«Если функция непрерывна на данном интервале и имеет разные знаки на его концах, то внутри интервала функция обращается в нуль. Функция не обращается в нуль внутри данного интервала, но на концах интервала имеет разные знаки. Следовательно, функция разрывна».

Посылки и заключения в данном рассуждении состоят их следующих элементарных высказываний:

A – «функция непрерывна на данном интервале»,

B – «функция имеет разные знаки на концах интервала»

C – «функция обращается в нуль внутри данного интервала».

Используя эти обозначения, запишем посылки и заключение в виде формул:

ÙB (2-я посылка P2)

(заключение Q)

Если импликация (AÙB®C)Ù( ÙB)® =P®Q тождественно истинна, то рассуждение верно. Для проверки правильности рассуждения строим истинностную таблицу:

А В С АВ АВ®С B P1ÙP2 P1ÙP2®Q

Убеждаемся, что рассуждение верно. Проведем проверку правильности этого рассуждения методом от противного. Предположим, что заключение Q ложно. Покажем, что в этом случае конъюнкция посылок P1ÙP2 ложна, т. е. P →Q тождественно истинна.

В самом деле, если Q= ложно, то A истинно. Пусть P2= B истина, тогда B – истинно, – истинно т. е. C – ложно, но в этом случае посылка принимает значение ложно, так как P1=АВ®С принимает значение ложно, так как AB=1, а С=0, что и требовалось проверить.

Правильность данного рассуждения можно проверить, преобразовав формулу P1ÙP2 к некоторой равносильной ей формуле, которая задает заведомо тождественно истинное высказывание.

Это сделаем после ознакомления с так называемыми совершенными нормальными формами формул алгебры высказываний.

Источник