Меню

Числа как средство познания



Числа как средство познания

Математические средства познания. Развитие математических средств познания оказывает все большее влияние на развитие современной науки, они проникают и в гуманитарные, общественные науки.

Математика, будучи наукой о количественных отношениях и пространственных формах, абстрагированных от их конкретного содержания, разработала и применила конкретные средства отвлечения формы от содержания и сформулировала правила рассмотрения формы как самостоятельного объекта в виде чисел, множеств и т.д., что упрощает, облегчает и ускоряет процесс познания, позволяет глубже выявить связь между объектами, от которых абстрагирована форма, вычленить исходные положения, получить точность и строгость суждений. Причем математические средства позволяют рассматривать не только непосредственно абстрагированные количественные отношения и пространственные формы, но и логически возможные, т.е. такие, которые выводят по логическим правилам из ранее известных отношений и форм.

Под влиянием математических средств познания претерпевает существенные изменения теоретический аппарат описательных наук. Математические средства позволяют систематизировать эмпирические данные, выявлять и формулировать количественные зависимости и закономерности. Математические средства используются также как особые формы идеализации и аналогии (математическое моделирование). В описательных науках, в том числе в педагогике, на сегодняшний день пока наибольшую роль играют средства математической статистики.

Логические средства. В любом диссертационном исследовании ученому приходится решать логические задачи:

· каким логическим требованиям должны удовлетворять рассуждения, позволяющие делать объективно-истинные заключения; каким образом контролировать характер этих рассуждений?

· каким логическим требованиям должно удовлетворять описание эмпирически наблюдаемых характеристик?

Источник

ЧИСЛО В ПОЗНАНИИ

ЧИСЛО В ПОЗНАНИИ

Научное понятие числа Кассирер связывает с универсальной системой порядковых знаков, подчиненных общеобязательному принципу и не ограниченных ничем внешним; никакая множественность «вещей», значимая для чувственного восприятия или созерцательного представления, не может уже быть масштабом для образования порядковых знаков, которые имеют чисто идеальный характер и связаны, по слову Лейбница, не с действительным, а с возможным. Лингвистический анализ показал все трудности и препятствия этого пути; число здесь поначалу лишено чисто «абстрактного» смысла и сращено с исчисляемым, так что признаки предметов определяют различные числительные. Математическое понятие числа, по Кассиреру, тем и отличается от лингвистического числительного, что выпутывается из уз этой сращенности, преодолевая гетерогенность мысли, пронизанной многообразием объектов, и проникая в гомогенность, в род и эйдос числа как такового. Чистая форма отношения отличается здесь от всего, что может вступить в нее; образуется качественная и количественная бесконечность числа: первая в силу независимости принципа, построяющего ряд, от содержания ряда, вторая — в силу приложимости операции извлечения чисел к каждому отдельному числу. Кассирер вспоминает в этой связи Лейбница, назвавшего число метафизической фигурой, а арифметику — своего рода статикой универсума, исследующей силы вещей, и Платона, считавшего пространство изначальной формой всего материального бытия, поскольку последнее есть лишь определение общей формы пространства. Такова, по его мысли, природа и числа.

Современная математика постигла логическую универсальность чистого понятия числа и воздвигла на нем систему анализа. В работах Кантора и Дедекинда, Фреге и Рассела, Пеано и Гильберта это тенденция приняла четкую методическую направленность. Еще Гельмгольц пытался осилить дедукцию понятия числа эмпирическими средствами, но эмпиризм оказался здесь совершенно бессильным. Кассирер отмечает классическую аргументацию Фреге против Милля; «количество», по Фреге, есть свойство не вещи, а понятия: четыре лошади, впряженные в карету кайзера, говорит Фреге, мыслимы лишь в приложении числа четыре к понятию «лошади». Дедекинд в выведении иррациональных чисел также признает чисто мысленную природу числа; все учение Рассела о принципах математики предпосылает понятию числа чисто «логические константы». Даже математический «интуиционизм», отвергающий формалистику и логистику и производящий число из «праинтуиции», строго отличает последнюю от созерцания эмпирических объектов; обоснование математики у Брауэра исходит из полагания основного отношения, порождающего понятие порядка и понятие числа.

Иную картину, по Кассиреру, являет развитие проблемы числа в философии и критике познания. Кант определял число как чистую схему величины (последняя — понятие рассудка); в «Критике чистого разума» число обусловливается временем. Наторп в «Логических основаниях точных наук» перевертывает это положение; число, по Наторпу, не только образование чистого мышления, но и прототип и первоначало его. Против Наторпа выступил Риккерт, согласно которому число не только не подлежит сфере логики, но и являет собою образец «алогического», ибо даже такое элементарное положение, как 1 = 1, предполагает уже наличие интуитивного и алогического момента. Кассирер пытается отклонить критику Риккерта; последняя, считает он, связана не столько с риккертовским пониманием числа, сколько с риккертовским пониманием «логоса». Ведь и Риккерт утверждает независимость числа от опыта, его «априорность» и «идеальность»; стало быть, «алогичность» означает на его языке не что иное, как отличие предмета «число» от собственно логического предмета, конституируемого понятиями «тождества» и «различия». Отмеченные понятия образуют логический минимум, без которого немыслима никакая предметность, но этого минимума, по Риккерту, вовсе недостаточно для построения понятий нумерической «единицы», «количества» и «числового ряда». Математическое «рацио», заключает отсюда Риккерт, не совпадает с логическим «рацио». Но следует ли из этого, возражает Кассирер, что число «алогично» и, стало быть, чуждо мышлению? «И логический идеализм далек от того, чтобы утверждать простое совпадение числа с «логическим»; скорее он рассматривает число как детерминацию именно этого логического» (3.404). Если же понимать логическое в смысле Риккерта и принимать тождество и различие за единственные, в строгом смысле, «логические» категории, то внеположность математики оказывается несомненной. Но, переводя спор на язык современной логики исчислений, можно сказать, что тождество и различие суть симметричные отношения, тогда как для построения числа необходимо асимметричное отношение (Рассел). Понятие «логической формы» мыслится Кассирером гораздо шире: оно есть выражение способности отношения как таковой и включает в себя, в качестве частных случаев, все типы отношения — «транзитивные» и «интратранзитивные», симметричные, несимметричные и асимметричные, так что наличие числа в этой универсальной системе не может быть оспорено и, более того, должно быть признано за краеугольный камень ее. Ведь если число представляет схему порядка и выстраивания в ряд, то мышление, как скоро оно мыслит содержание бытия упорядоченным, с необходимостью опирается на число. «Здесь, — подчеркивает Кассирер, — оно обладает основополагающим средством своей «ориентировки», как бы идеальной осью, вокруг которой оно вращает мир» (3.406). На этой интуиции покоится пифагорейская первоначальная идентификация числа и бытия и более позднее уточнение этой мысли, где число объявляется «истиной бытия». Лейбниц в своей ранней философской концепции исходит из наброска универсальной арифметики, расширяя ее впоследствии до общей комбинаторики, которая имеет дело уже не только с числами как таковыми, но простирается и в совершенно иные области, к примеру, на точки — таков знаменитый Analysis situs Лейбница. И с другой стороны прямо пророческой называет Кассирер дневниковую запись 22-летнего Декарта об интеграции наук, образующих доселе агрегат, в «цепь» строго расчлененных и взаимосвязанных дисциплин — мысль, легшая в основу принципиального обоснования арифметики у Дедекинда. По Декарту, арифметика и геометрия, статика и механика, астрономия и музыка, при всем видимом различии их объектов, суть разнообразные выражения одинаковой формы познания, составляющей предмет общего наукоучения, Mathesis universalis, и простирающейся на все, что определено «порядком и мерой». Таким образом, «предмет» математики все больше и больше очерчивается контурами понятия порядка. Лейбниц прямо требует соответствия между порядком мыслимого и порядком знаков; каждая умственная операция должна выражаться в аналогичной знаковой операции и выверяться правилами связи знаков; это значит, что математические предметы суть чистые формы отношения. Определением комбинаторики как науки о родовых качествах, где качество отождествляется с формою, Лейбниц положил начало новой математике, принципиально расширяющей первоначальную «классическую» область количества и величины. Современная математика, подчеркивает Кассирер, являет ряд дисциплин, начисто лишенных понятия экстенсивных «величин». Так, в геометрии, наряду с «метрической» геометрией, существует и проективная — автономное образование, не нуждающееся для своего построения в отношении специальных величин. Аналогично обстоит дело и в Analysis situs. Но даже в области арифметики понятие величины выявляет уже всю свою узость; теория перестановок не только отделяется от элементарноарифметических теорий числа, но и в строгом смысле порождает последние. И отсюда, из исследований групп буквенных перестановок, развивается общее понятие группы операций, вырастающее в новую дисциплину теории групп, на основании которой Феликс Клейн осуществляет реформацию геометрии. Геометрия мыслится теперь как специальный случай теории инвариантов, ибо взаимосвязь различных геометрий объясняется здесь тем, что каждая из них рассматривает определенные свойства пространственных образований, являющихся инвариантными по отношению к ряду трансформаций; различие их сводится к факту наличия особых групп трансформаций, характеризующих каждую из них. Критико-познавательный анализ позволяет Кассиреру установить внутреннюю методическую связь между понятием числа и понятием группы. Последнее, по сути дела, рассматривает на более высокой ступени ту же проблему, что и первое. Ведь образование натурального ряда чисел началось с фиксации первого «элемента» и с указания правила порождения новых элементов через повторное применение. Ряд потому и замыкается в единую целостность, что каждое сочетание элементов определяет в свою очередь новое «число». При образовании «суммы», «разности» или «произведения» двух чисел а и в величины а + в, а — в, а·в не выпадают из основного ряда, но принадлежат ему как определенные места либо, по крайней мере, относятся к местам основного ряда; связь арифметических операций, в конечном счете, снова приводит к арифметическим элементам. Эта точка зрения доведена в теории групп до строгой всеобщности, ибо в ней вообще устранен дуализм «элемента» и «операции» через превращение самой операции в элемент. Совокупность операций образует группу в том случае, если две трансформации, последовательно осуществляемые нами, приводят к результату, который достижим и через одну принадлежащую к совокупности операцию; «группа», поэтому, есть не что иное, как точное выражение системы операций, а теория групп с логической точки зрения характеризуется Кассирером как новое «измерение» арифметики: она есть арифметика не чисел, а форм, отношений и операций. Слова Кеплера о числе, как «духовном оке», через которое мы зрим действительность, вполне приложимы и к теории групп, этому блистательнейшему примеру чисто интеллектуальной математики (по определению Германа Вейля). Именно с помощью понятия группы удалось Минковскому привести проблематику специальной теории относительности к чисто математической форме и осветить ее в совершенно новом ракурсе. Попытка определения места числа в общей системе математики на основании вышеприведенных фактов приводит Кассирера к выделению двух моментов в историческом развитии проблемы. Уже в пифагорействе, наряду с формулой отождествления числа и бытия, есть и другая формула, согласно которой бытие «подражает» числу и причастно в этом смысле к нему (Кассирер приводит фрагмент Филолая, гласящий о том, что все познаваемое имеет свое число). Эта полярность тождества и различия, по Кассиреру, претворена в современной математике в чистую корреляцию. Предметная сфера математики не сводима к числу в количественном аспекте), но с другой стороны, математика всегда ориентирована на число и форму его порядка. «Путь, уводящий от числа, непрестанно приводит к нему. Следует охватить обе тенденции, дабы узреть идеальную структуру современной математики» (3.412). Вторая тенденция доминирует во всем ходе развития математики с начала прошлого столетия. Гаусс назвал арифметику царицей математики; эта метафора выросла в реальный проект «арифметизации математики», выдвинутый Клейном. С другой стороны, доказательство непротиворечивости геометрии Гильберт свел к однозначному отражению элементов и положений геометрии в чисто арифметическом многообразии, где арифметика гарантирует геометрию. Порядок числа мыслится здесь как последний фундаментальный слой «аксиоматического мышления». Но это число, которое определяет специфическое своеобразие современной математики, является, по Кассиреру, уже не только содержанием мысли, но и типом мысли, или чистой символической формой.

Читайте также

3. Число энергий

3. Число энергий Различие энергии от сущности Божией приводит к антиномии. К тем же антиномическим построениям приходит Палама, когда рассуждает о количестве энергий. Иногда он говорит о множестве энергий. «Этих энергий Исайя насчитывает семь; у евреев же число «семь»

Читайте также:  Как найти средство от кашля

Источник

Познание числа

Цель исследования состоит выявлении закономерности между временем возникновением числа и необходимостью выражать числа разными знаками.

Сначала для счета люди использовали пальцы рук и ног. На следующей стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: камешки, зерна, веревку с узелками. С усложнением трудовой деятельности возникла необходимость обозначения чисел знаками. У многих народов широкое распространение имела алфавитная система нумерации, которая сохранилась и сегодня (нумеруют отдельные пункты плана, однотипные задачи). В настоящее время в большинстве стран мира (за исключением стран с иероглифической письменностью и народов, не имеющих письменности вообще) пользуются арабскими цифрами.

Скачать:

Вложение Размер
poznanie_chisla.docx 682.69 КБ

Предварительный просмотр:

Название работы: «Познание числа»

Автор работы: Калугина Полина Павловна
Место выполнения работы: с . Красногвардейское,

МОУ «Гимназия № 1», 5 класс.

Научный руководитель: Бледных Ирина Геннадьевна , кандидат педагогических наук, учитель математики МОУ «Гимназия № 1», с.Красногвардейского

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. Исторические периоды возникновения условных знаков для обозначения цифр у различных народов…………………………

1 Хронология возникновения знаков у древних народов………………….

2. Таблица цифр древних народов…………………………………………….

3.Примеры записи чисел и решение примеров, с использованием цифр древних народов……………………………………………………………….

Актуальность и постановка проблемы исследования. Русский учёный М.В. Ломоносов говорил: доказано, знание математики повышает интеллект на 20%!

Когда речь идёт о чём-нибудь очень простом, понятном, мы говорим: «Это просто как дважды два – четыре!» Трудно представить, но ведь человеку, прежде чем додуматься до этого, пришлось учиться много тысяч лет.

А возможность записать эту фразу на математическом языке, с помощью небольшого числа особых знаков, имеет сложную историю. В школе, на уроках математики, мы изучаем не только арабские цифры, привычные для записи чисел, но и римские. На уроках информатики, мы узнаём о существовании различных систем счисления. Возникает проблема в осмыслении необходимости различной письменной нумерации. А чтобы понимание было полным, надо пройти всю историю возникновения чисел, связанную с записью числа знаками.

Цель исследования состоит выявлении закономерности между временем возникновением числа и необходимостью выражать числа разными знаками.

Гипотеза исследования заключается в том, что для отражения различной информации нужны разные способы записи чисел и в наше время:

  1. по исторической традиции используются арабские цифры;
  2. для обозначения больших чисел, удобных для зрительного восприятия, римские цифры.

Методы исследования. Теоретические: метод теоретического анализа и синтеза литературы по проблеме исследования. Эмпирические: наблюдение, собеседование с учителями, опытно-экспериментальная работа.

Этапы исследования. Исследование выполнялось в три этапа: первый этап (поисково-теоретический, 2010-2011 гг.) включал изучение и анализ литературы по проблеме записи чисел знаками; второй этап (опытно-экспериментальный, 2011-2012 гг.) заключался в переводе чисел, решении примеров с использованием цифр древних народов. Третий этап (обобщающий – 2012 г.) состоял в анализе и обобщении результатов работы, формулировке выводов, оформлении исследования.

Практическое использование результатов исследования при проведении уроков математики, информатики, занятий математического кружка.

Исторические периоды возникновения условных знаков для обозначения цифр у различных народов

  1. Хронология возникновения знаков у народов древних народов

Учиться считать люди стали с незапамятных времён, учителем была сама жизнь. И даже в те времена, когда люди не знали таких слов, как «пять» или «семь», человек мог показать числа на пальцах рук и ног.

Из охотника и собирателя, человек постепенно превратился в земледельца и скотовода. Ему надо было уметь считать и записывать числа. Ведь, человек имея, например, большое стадо коров, должен был записать их количество, сколько посеять семян всё это человек должен был рассчитать и, конечно, записать. Так, появилась первая «запись» чисел – зарубки и узелки (рис. 1). Но, такая форма была не удобна: хорошо, если число небольшое – десятки, в крайнем случае, сотни, а если это тысячи, миллионы? Пока сосчитаешь количество узелков или зарубок – уйдёт много времени. Так, примерно 5 тысяч лет назад, были изобретены первые цифры.

Система нумерации, основанная на записи фигурных знаков, полученная путём упрощения рисунков была создана в Древнем Египте около 5000 лет назад. Числа, для которых использовались особые иероглифы (узловые числа), — это 1 (|), 10 (∩ — возможно это символ дуги, которую ставили над десятком чёрточек), 100 ( — это символ измерительной верёвки). Запись остальных чисел производилась при помощи операции сложения. (5, С. 326)

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления — аттическая (или геродианова) и ионическая (алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками уже к 5 в. до н.э. Это была десятичная система, а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ D, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X — 1000 (хилиои), символ M — 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом .

В начале Александрийской эпохи (III в. до н.э.) широкое распространение в Древней Греции получила алфавитная (ионическая) система счисления. Эта была десятичная система счисления. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв — первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов — первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова, используя первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту.

В период от II тысячелетия до н.э. народы, жившие в Междуречье Тигра и Евфрата (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин  (1) и лежащий клин  (10). Число 60 снова обозначалось знаком  . Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления. (6, С. 17).

Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления: «Возможно, она связана с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке). Возможно, с тем, что окружность делится циркулем на шесть частей. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел. (2, С.1)

В начале нашей эры, у народа Майя, который жил в Центральной Америке (сейчас государство Мексика), система счета была двадцатеричная. Индейцы Майя считали двадцатками. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками, изображение в виде глаза играло у Майя ту же роль, что у нас умножение на 20. (3, С.)

В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях. Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. Предполагают, что нуль заимствован из Индии в XII в.

Из Древнего Рима дошли до нашего времени цифры I, V, X, С, D, М. Одни ученые полагают, что V обозначает раскрытую ладонь, а Х — две ладони или скрещенные руки. Другие же считают, что знак X ведет свое происхождение от двух линий, которыми перечеркивали десяток черточек, а V означает половину от X. В основе римской нумерации использованы принципы сложения (например, VI = V + I) и вычитания (например, IX = X -1). Римская система нумерации десятичная, но непозиционная. Римские цифры произошли не от букв. Первоначально они обозначались, как и у многих народов, «палочками».

Культура Древней Руси была тесно связана с греческой культурой Византии. Для записи чисел использовались также буквы алфавита, но над ними ставили специальный знак – титло (

). Сходная система обозначения чисел является старорусская нумерация, называемая славянской. Она возникла в X веке, и её введение приписывают составителю славянского алфавита Кириллу.

Большие числа славяне записывали теми же буквами, но для обозначения тысяч рядом с буквой слева внизу ставили знак «¸» , например: 1000 — ¸Ã; 3000 — ¸Г̃ Число 10 000 обозначали той же буквой, что и 1, но без титла, и её обводили кружком. Называлось это число «тьма». Отсюда и выражение «тьма народу». Число следующего разряда — 100 000 — называлось «легион». Для обозначения этого числа писали букву А и вокруг нее ставили кружок из точек; 10 легионов составляли новую единицу — леодр. (рис.4) Леодр обозначали буквой А, заключённой в кружок из черточек. (4, С.14)

Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак (рис.2). Однако Индия была оторвана от других стран, Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки. (Рис.3) Они похожи на наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов. Нуль, или «пусто», они называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Сейчас цифрами называют десять знаков для записи чисел, которыми мы пользуемся.

Римские цифры используются для записи больших чисел, которые удобны для зрительного восприятия.

Буквы используют для дополнительной нумерации списков и др.

Источник